Вращательное движение

1. Вращательное движение тел (физика твердого тела)


1.1 Угловая скорость и ускорение

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением
Δl = RΔφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.



Рисунок 1.6.1.
Линейное и угловое перемещения при движении тела по окружности.
Угловой скоростью ω тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:




Угловая скорость измеряется в рад/с.
Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:
υ = ωR.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора
Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение


направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:



Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения


Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA = υB = υ.
Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:






Рисунок 1.6.2.
Центростремительное ускорение тела при равномерном движении по окружности.
При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:



При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим:




При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.
В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде


где радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.
Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения.




В этой формуле Δυτ = υ2 υ1 изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.
Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).



Рисунок 1.6.3.
Составляющие ускорения и при неравномерном движении тела по окружности.
Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υx и υy (рис. 1.6.4).
При равномерном вращении тела величины x, y, υx, υy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом






Рисунок 1.6.4.
Разложение вектора скорости по координатным осям.



1.2. Момент импульса

Момент импульса частицы. Моментом импульса L части¬цы А относительно точки О называется величина, равная век¬торному произведению радиус-вектора частицы r на ее им¬пульс р:
(9.23)
В общем случае произвольного движения частицы относи¬тельно точки О модуль вектора момента импульса равен:
(9.24)
где R - плечо импульса частицы относительно точки О (см. рис. 9.8).
Пусть частица массой m совершает вращательное движение вокруг некоторой произвольной оси Z с угловой скоростью w (см. рис. 9.9). Направление вектора момента импульса относи¬тельно произвольной точки О, расположенной на этой оси, как следует из рис. 9.9, составляет с ней угол (3 и не совпадает с на¬правлением вектора угловой скорости. Учитывая, что вектора г и v взаимно перпендикулярны, получим выражение для рас¬чета величины вектора момента импульса частицы относи¬тельно точки О:
(9.25) Моментом импульса частицы относительно произвольной
оси Z называется проекция вектора L на эту ось. Как видно из рис. 9.9,
(9.26)
Как следует из (9.26), момент импульса частицы относительно закрепленной оси не зависит от выбора точки О на этой оси.
Момент импульса твердого тела. Рассмотрим твердое те¬ло, совершающее вращательное движение вокруг некоторой закрепленной оси с угловой скоростью со. Моментом импуль¬са тела называется величина, равная векторной сумме момен¬тов импульса его частей:
(9.27)
Очевидно, что, как и для случая с частицей, проекция момен¬та импульса i-й части тела на ось Z в соответствии с рис. 9.10 равна:
(9.28)
Произведя суммирование по всему телу и исходя из определе¬ния момента инерции, получим выражение для расчета проек¬ции момента импульса тела на ось Z:
(9.29)
При суммировании мы учли, что проекции векторов моментов импульса каждой части тела на ось Z имеют одинаковые зна¬ ки, т. к. для них (как следует из геометрических соображений) углы между вектором угловой скорости и моментами импуль¬сов всегда острые. Заметим, что выражение (9.29) не зависит от выбора точки О на оси вращения.



1.3. Момент силы

Момент силы относительно произвольной точки.
Пусть частица А движется относительно точки О под действи¬ем произвольной силы F (см. рис. 9.2).
Моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиус-вектора ча¬стицы г, проведенного из точки О в точку приложения си¬лы F, на вектор этой силы:
(9.4)
Вектор момента силы перпендикулярен плоскости, в которой находятся r и F. Направление вектора M задается в соответ¬ствии с правилом нахождения результата векторного произведения. Вектора r и F изображают исходящими из одной точки и мысленно связывают с ними правый винт (см. рис. 9.3). За¬тем головку винта поворачивают по кратчайшему пути от r к F. Направление вектора M совпадает с направлением поступа¬тельного движения винта.
Величина вектора момента сил рассчитывается как
(9.5)
где - плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до продолжения линии действия силы (см. рис. 9.2).

Момент силы относительно закрепленной оси. Момен¬том силы относительно закрепленной оси Z называется вели¬чина, равная проекции вектора момента сил М на данную ось, взятого относительно произвольной точки О, расположенной на этой оси (см. рис. 9.4).
(9.6)
Найдем значение вектора М для твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси Z под действием силы F. Разложим эту силу на три составляющие (см. рис. 9.4):
где - составляющая силы, параллельная оси вращения;
-тангенциальная составляющая силы, расположенная в плоскости вращения;
-нормальная составляющая силы, расположенная в пло¬скости вращения.