В данной курсовой работе рассматривается задача численного интегрирования кратных интегралов. В связи с вторжением информационных и коммуникационных технологий в научно-практическую и образовательную деятельность эта проблема в настоящее время актуальна. Цель данной курсовой работы – раскрыть понятие кратного интеграла и изучить методы его решения, а именно: метод повторного интегрирования, метод Люстерника - Диткина и вероятностный метод, - метод Монте-Карло. Для достижения этой цели нужно решить следующие задачи: 1. Изучить понятия численного интегрирования, на которых базируются понятие кратного интеграла и численные методы его решения. 2. Исследовать простейшие квадратурные формулы интерполяционного типа — прямоугольников, трапеций, Симпсона. 3. Оценить погрешность квадратурных формул. 4. Рассмотреть понятие кратного интеграла. 5. Изучить методы численного интегрирования кратных интегралов, а именно: метод повторного интегрирования метод Люстерника - Диткина метод Монте-Карло 6. Рассмотреть применение этих методов при решении задач. 7. Привести задачи для самостоятельного решения. 8. Разработать Windows-приложение, позволяющее вычислять двойные интегралы методом повторного интегрирования. Курсовая работа состоит из пяти глав: двух теоретических и трех практических.
Введение 2 Глава 1. Базовые понятия 2 1.1. Численное интегрирование: Постановка задачи 2 1.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа 2 1.2.1. Постановка задачи аппроксимации подынтегральной функции интерполяционными многочленами 3 1.2.2. Аппроксимация интерполяционным полиномом Лагранжа 3 1.2.2.1. Формула интерполяционного полинома Лагранжа 3 1.2.2.2. Общий алгоритм аппроксимации полиномом Лагранжа 4 1.2.2.3 Формула трапеций 4 1.2.2.4 Формула прямоугольников 5 1.2.2.5 Формула Симпсона 5 1.2.3 Оценка погрешностей квадратурных формул 5 Глава 2. Кратные интегралы. Метод повторного интегрирования, метод Люстерника и Диткина, метод Монте-Карло 6 2.1 Понятие кратного интеграла 6 2.2. Метод повторного интегрирования 7 2.3. Метод Люстерника и Диткина 8 2.4. Метод Монте-Карло 9 Глава 3. Использование методов численного интегрирования при решении задач 11 3.1. Приближенное вычисление двойного интеграла методом повторного интегрирования 12 3.2.Приближенное вычисление интеграла третьей кратности методом повторного интегрирования 12 3.3. Вычисление интеграла методом Люстерника — Диткина 14 3.4. Численное вычисление интеграла методом Люстерника - Диткина по области произвольной конфигурации 14 3.5. Вычисление двойного интеграла методом Монте-Карло 15 3.6. Приближенное вычисление объема с помощью метода Монте-Карло. 17 Глава 4. Задачи для самостоятельного решения 29 Глава 5. Windows-приложение «Численное решение двойных интегралов методом повторного интегрирования» 31 Заключение 38 Список литературы 39
1. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений. — М: ЛКИ, 2008. — 248 с. 2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1966. — 632 с. 3. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. — М.: Наука, 1970, — 432 с. 4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — СПб.: «Лань», 2006. — 672 с. 5. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — СПб.: «Лань», 2008. — 368 с. 6. Лапчик М.П. Численные методы. — М.: «Академия», 2004. — 384 с. 7. Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике. — 8. Миньков С.Л., Миньков Л.Л. Основы численных методов.— Томск: НТЛ, 2006. — 260 с. 9. Михайлов Г.А. Численное и статическое моделирование. Методы Монте-Карло. — М: «Академия», 2006. — 368 с. 10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — СПб.: «Лань», 2009. — 656 с.