При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций. Рассмотрим вначале случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция непрерывна на промежутке . Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл с верхним пределом . Величина этого интеграла будет меняться в процессе изменения , но его можно будет вычислить до тех пор, пока конечное число. Как только верхний предел станет равным бесконечности, -ая интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в этом случае уже нельзя будет ни задать , ни вычислить . Иначе говоря, последняя частичная трапеция при записи -ой интегральной суммы будет всегда иметь бесконечно большое основание и ее площадь вычислить обычными методами не удастся. В этом случае выход из положения заключается в том, что находится не на бесконечности, а стремится к ней. Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции и обозначается . Итак, по определению . В этом и заключается метод вычисления таких интегралов. Очевидно, что поскольку данное вычисление связано с нахождением предела, то ответ может существовать или нет. Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся. Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области, лежащей между осью , кривой и прямой . Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Вычислительная математика, ТУСУР 1. Вычисление несобственных интегралов Несобственные интегралы с бесконечными пределами 2. Метод наименьших квадратов решения интегрального уравнения 2-го рода. 3. Метод замены интеграла квадратурой суммы 4. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения . Оценить погрешность и найти значения , при которых решение сходится. 5. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения . Оценить погрешность и найти значения , при которых решение сходится. 6. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение: , , , . Список литературы
1. Амосов А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука, 2003.
3. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Наука, 2007.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 2008.
5. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 2002.
6. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1998.