Задание 1 Вопрос 1. Пусть А, В - множества. Что означает запись , ? 1. Множество А является строгим подмножеством множества В, которое является истинным подмножеством множества А 2. Множества А, В являются бесконечными 3. Множества А, В являются конечными 4. Множества А, В не являются пустыми 5. Множества А, В равны Вопрос 2. Пусть А - непустое множество всех учеников школы , В - множество учеников пятых классов этой школы, С - множество учеников седьмых классов этой школы. Какая из записей выражает ложное утверждение? (Скобки здесь, как и в арифметических выражениях, задают порядок действий). 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Какое из утверждений не всегда (не для любых множеств А, В, С) является верным? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Пусть - множество дней недели, а - множество дней в январе. Какова мощность множества ? 1. 38 2. 217 3. 365 4. 31 5. 7 Вопрос 5. Рассмотрим множество показаний часов Что можно утверждать относительно элемента а множества ? . 1. 2. 3. 4. 5. Задание 2 Вопрос 1. Рассмотрим соответствие G между множествами А и В . В каком случае соответствие называется всюду определенным? 1. 2. 3. 4. 5. A=B Вопрос 2. Допустим, что существует взаимнооднозначное соответствие G между множествами А и В. Что можно сказать об их мощностях? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Какая функция не является суперпозицией функций 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Рассмотрим бинарное отношение R на множестве М. Что можно утверждать об R, если это отношение транзитивно? 1. Если , то имеет место 2. Если , , то тогда и только тогда, когда 3. В множестве М нет элемента а такого, что выполняется 4. Если для элементов a, b, c множества М выполняется и , то не выполняется 5. , где - транзитивное замыкание R Вопрос 5. Каким свойством не обладает отношение нестрогого порядка R? 1. Рефлексивность 2. Транзитивность 3. Антисимметричность 4. , где - транзитивное замыкание R 5. Симметричность Задание 3 Вопрос 1. Какова сигнатура булевой алгебры множеств? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Какая операция не является ассоциативной? 1. Объединение множеств 2. Деление чисел 3. Композиция отображений 4. Умножение дробей 5. Пересечение множеств Вопрос 3. Рассмотрим алгебру и алгебру . В каком случае можно утверждать, что ? 1. Если имеет место гомоморфизм А в В 2. Если имеет место гомоморфизм В в А 3. Если А и В изоморфны 4. Если совпадает арность операций и , и , и 5. Если существует отображение Г: , удовлетворяющее условию для всех и всех , где - арность операции и Вопрос 4. Какая операция является обязательным атрибутом полугруппы? 1. Умножение на 2 2. Извлечение квадратного корня 3. Бинарная ассоциативная 4. Композиция отображений 5. Операция отождествления Вопрос 5. Чем является полугруппа ? 1. Абелевой группой 2. Циклической группой 3. Свободной полугруппой 4. Моноидом 5. Циклической полугруппой Задание 4 Вопрос 1. Какое из чисел является совершенным? 1. 28 2. 36 3. 14 4. 18 5. 3 Вопрос 2. Какое из чисел не является треугольным? 1. 6 2. 10 3. 15 4. 21 5. 27 Вопрос 3. Чему равно число сочетаний из пяти по три ? 1. 10 2. 20 3. 9 4. 11 5. 12 Вопрос 4. Какая из формул, содержащих число сочетаний, не верна? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Предположим, что мы много раз бросаем пару игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях) и суммируем две выпавшие при каждом бросании цифры. Какую из перечисленных ниже сумм мы будем получать чаще других? 1. 1 2. 7 3. 6 4. 11 5. 12 Задание 5 Вопрос 1. Каким был первый наиболее важный шаг в расшифровке клинописных надписей, сделанный Мюнтером и Гротефендом? 1. Подбор наиболее вероятной версии перевода для часто встречающихся в клинописных надписях слов 2. Подбор букв из известных языков, похожих на буквы клинописи 3. Подбор наиболее близкого из современных языков 4. Ввод клинописных надписей в компьютер 5. Постановка в соответствие каждой букве клинописи некоторого натурального числа Вопрос 2. Сколько всего разных пар можно составить из 4-х букв? (Сколько различных двухзначных чисел можно образовать, используя только цифры 1, 2, 3, 4 ?) 1. 4 2. 8 3. 16 4. 20 5. 2 Вопрос 3. Какому условию удовлетворяют все вырожденные коды? 1. Одно слово (один объект, например, аминокислота) кодируется (может быть представлен или определен) не одним, а несколькими сочетаниями символов (кодонами) 2. Условию линейности 3. Условию взаимнооднозначного соответствия между кодами и кодируемыми объектами (состояниями) 4. Это коды – неперекрывающиеся 5. Эти коды – перекрывающиеся Вопрос 4. Какое высказывание не соответствует коду ДНК? 1. Существуют кодоны, которым не соответствует ни одна аминокислота 2. Этот код – линейный 3. Этот код – невырожденный 4. Этот код – неперекрывающийся 5. Этот код – триплетный Вопрос 5. Какую важнейшую комбинаторную задачу решил 17 февраля 1869 г. Дмитрий Иванович Менделеев? 1. Задачу об обходе Кенигсбергских мостов 2. Задачу составления периодической системы химических элементов 3. Задачу расшифровки крито-микенского письма 4. Задачу об одновременном выпадании двух шестерок при бросании пары игральных костей 5. Задачу об оптимальном содержании спирта в крепких алкогольных напитках Задание 6 Вопрос 1. Какое условие (предположение) характерно для всех комбинаторных задач? 1. В комбинаторных задачах всегда идет речь только о конечных множествах 2. В комбинаторных задачах никогда не используется перебор вариантов 3. В комбинаторных задачах всегда используется понятие бесконечности 4. Комбинаторные задачи всегда приводят к дифференциальным уравнениям 5. Комбинаторные задачи никогда не требуют составить алгоритм Вопрос 2. Как быстрее решить задачу поиска (построения) магического квадрата третьего порядка, без использования компьютера? 1. С помощью геометрии Лобачевского 2. С помощью геометрии Евклида 3. С помощью дифференцирования или интегрирования 4. С помощью перебора и анализа всех квадратных матриц размером 3 на 3 5. Определив сумму по каждой из его строк, столбцов и диагоналей и составив все возможные тройки чисел, дающие эту сумму Вопрос 3. Сколько всего существует способов расположения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде магического квадрата? (Под магическим квадратом следует понимать матрицу, сумма элементов которой по каждому столбцу, строке и диагонали одна и та же) 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8 5. 12 Вопрос 4. Сколько способов (вариантов) расстановки восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не мог взять другого, существует? 1. 1 2. 4 3. 12 4. 56 5. 92 Вопрос 5. Какое максимальное число коней, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске? 1. 16 2. 30 3. 32 4. 36 5. 24 Задание 7 Вопрос 1. Для какого числа n не может быть построена пара ортогональных квадратов? 1. 2. n=5 3. n=6 4. 5. n=14 Вопрос 2. Что называют блок-схемой в комбинаторике? 1. Таблицу всевозможных вариантов комбинирования элементов некоторого множества 2. Размещение элементов заданных множеств в блоки, подчиненное некоторым условиям относительно появления элементов и их пар 3. Квадратную матрицу, элементами которой являются пары букв 4. Матрицу, элементами которой являются тройки чисел 5. Расположение букв в виде прямоугольника размерами на , где n – натуральное число Вопрос 3. Как формулируется принцип Дирихле? 1. Когда на шахматную доску, имеющую 8 горизонталей, ставят 10 ферзей, то хотя бы одна пара будет бить друг друга 2. Если некоторые из n точек плоскости соединены отрезками, то всегда найдутся две точки, из которых выходит поровну отрезков 3. Когда на шахматную доску, имеющую 8 горизонталей, ставят 9 ферзей, то хотя бы одна пара ферзей будет бить друг друга 4. Если в n ящиков положено более, чем n предметов, то хотя бы в одном ящике лежат два или более предметов 5. Если в зале находится n человек, то хотя бы двое из них имеют одинаковое число знакомых среди присутствующих в зале Вопрос 4. При попарном соединении какого числа точек отрезками двух цветов нельзя гарантировать, что найдутся три точки, являющиеся вершинами одноцветного треугольника? 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 9 Вопрос 5. Как можно сформулировать теорему Ф. Холла о деревенских свадьбах? 1. Если для любых k юношей деревни пересечение множеств их подруг содержит по крайней мере k девушек, то каждый юноша деревни может выбрать себе жену из числа своих подруг 2. В деревне относительно каждого юноши и девушки известно, дружат они или нет. Если для k юношей объединение множеств их подруг содержит по крайней мере k девушек, то каждый юноша этой деревни сможет выбрать себе жену из числа своих подруг 3. Если для любых k юношей деревни объединение множеств их подруг содержит менее k девушек, то каждый юноша этой деревни сможет выбрать себе жену из числа своих подруг, если они до этого момента не выйдут замуж 4. Если в деревне n юношей и k девушек, то все юноши смогут найти себе невесту в своей деревне, если 5. Пусть в каком-нибудь множестве Х выделены подмножества Для того, чтобы в Х можно было выбрать n различных элементов таких, что , необходимо и достаточно чтобы объединение любых k заданных подмножеств содержало не менее k элементов Задание 8 Вопрос 1. Сколько существует двухзначных чисел, не содержащих цифры 0 и 1 ? 1. 20 2. 99 3. 81 4. 64 5. 72 Вопрос 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно (пользуясь только одним словарем) выполнять переводы с любого из пяти языков (например, русского, французского, немецкого, итальянского, английского) на любой другой из этих пяти? 1. 20 2. 25 3. 16 4. 55 5. 10 Вопрос 3. Каково число размещений с повторениями из n по k? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Сколько всего разных символов (букв, цифр, знаков препинания ... ) можно закодировать (представить) кортежами из точек и тире, имеющими длину от 1 до 5 ? 1. 30 2. 32 3. 126 4. 64 5. 62 Вопрос 5. Сколько всего кортежей вида можно образовать, если в качестве может быть взят любой из элементов множества , мощность которого равна ? 1. 2. 3. 4. 5. Задание 9 Вопрос 1. Сколько размещений без повторений из 10 элементов по 3 существует? 1. 100 2. 720 3. 999 4. 1000 5. 504 Вопрос 2. Сколькими способами можно поставить две ладьи разных цветов на шахматной доске (8x 8) так, чтобы они не били друг друга? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Сколько разных кортежей букв длины 7, можно образовать перестановкой букв в слове “сколько”? 1. 7! 2. 420 3. 630 4. 1260 5. 2520 Вопрос 4. Допустим, что для посадки нам требуется 9 деревьев, а в магазине есть саженцы деревьев пяти сортов (пород). Из скольких вариантов (составов) покупки 9 деревьев нам придется выбирать? 1. Из 120 2. Из 240 3. Из 715 4. Из 672 5. Из 849 Вопрос 5. Сколько подмножеств, содержащих m элементов, у множества мощности k ? 1. 2. 3. 4. 5. Задание 10 Вопрос 1. Какая из формул не является верной для любых натуральных чисел k, n, удовлетворяющих условию ? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. При каком условии формула перекрытий принимает вид ? 1. 2. 3. Если число эквивалентов пересечения любых r множеств зависит только от числа r 4. 5. при Вопрос 3. Рассмотрим передачу двоичных кодовых сообщений фиксированной длины. При каком условии можно правильно восстановить сообщение, если известно, что ошибка допущена в одном разряде? 1. Если расстояние между ближайшими кодовыми словами не превосходит 2 2. Если расстояние между ближайшими кодовыми словами не менее 3 3. Если длина передаваемого слова нечетна 4. Если сумма единиц в этом сообщении четна 5. Если вместе со словом будет передана контрольная сумма его единичных разрядов Вопрос 4. Что означает запись в формуле перекрытий? 1. Мощность множества 2. n-й элемент множества 3. Множество элементов в U, не принадлежащих 4. Мощность множества элементов в U, не принадлежащих 5. Число слагаемых в формуле перекрытий Вопрос 5. В студенческой группе всего 45 студентов. Из них в футбольной секции занимаются 31 человек, в шахматной – 28, в баскетбольной – 30. Одновременно в футбольной и шахматной секциях занимаются 20 студентов этой группы, в баскетбольной и футбольной – 22 студента, в шахматной и баскетбольной – 18 студентов. Кроме того известно, что 12 студентов этой группы занимаются одновременно в трех упомянутых секциях. Сколько студентов группы не занимается ни в одной из упомянутых секций? 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 Задание 11 Вопрос 1. Укажите математическую модель для задачи: Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производства 1 т карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида. Вид сырья Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели Общее количество сырья (т) А В С Сахарный песок 0.8 0.5 0.6 800 Патока 0.4 0.4 0.3 600 Фруктовое пюре - 0.1 0.1 120 Прибыль от реализации 1 т продукции (руб) 108 112 126 Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации. 1. Найти минимум функции при условиях: 2. Найти максимум функции при условиях: 3. Найти минимум функции при условиях: 4. Найти максимум функции при условиях: 5. Найти максимум функции при условиях: Вопрос 2. Укажите математическую модель для задачи: При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в следующей таблице: Питательные вещества Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма вида I II III А 1 3 4 В 2 4 2 С 1 4 3 Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 копеек, корма II вида – 12 копеек и корма III вида – 10 копеек. 1. Найти максимум функции при условиях: 2. Найти минимум функции при условиях: 3. Найти минимум функции при условиях: 4. Найти максимум функции при условиях: 5. Найти минимум функции при условиях: Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи: В трех пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 420, 380, 400 т. Этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах, соответственно равных 260, 520, 420 т. Стоимости перевозок 1 т груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны и задаются матрицей (в условных единицах): , где Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок. 1. Найти минимум функции при условиях: 2. Найти минимум функции при условиях: 3. Найти минимум функции при условиях: 4. Найти минимум функции при условиях: 5. Найти минимум функции при условиях: Вопрос 4. Укажите неэквивалентную форму записи для задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Укажите стандартную форму записи для задачи 1. 2. 3. 4. 5. Задание 12 Вопрос 1. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего максимум целевой функции F. Ответ2 Вопрос 2. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего минимум целевой функции F. Ответ4 Вопрос 3. Указать эквивалентную форму записи задачи, допускающую геометрическую интерпретацию решений в виде многоугольника: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. при 4. Fmax=15 при 5. при Вопрос 5. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. Fmin=-15 при 4. при 5. Fmin=-9 при Задание 13 Вопрос 1. Указать максимальное значение целевой функции для задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Задание 14 Вопрос 1. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Исходная задача линейного программирования имеет оптимальный план со значением целевой функции . Какое из чисел является значением целевой функции двойственной задачи? 1. 0 2. 5 3. 10 4. 20 5. Вопрос 5. Геометрическая интерпретация решения исходной задачи линейного программирования, состоящей в максимизации целевой функции, приведена на рисунке: Укажите решение двойственной задачи линейного программирования. 1. 2. 3. 4. 5. Задание 15 Вопрос 1. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. при 4. при 5. при Вопрос 2. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 1. 2. при 3. при 4. при 5. при Вопрос 3. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. при 4. при 5. при Вопрос 4. Укажите математическую модель для транспортной задачи. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 160, 60, 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 единиц груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Укажите математическую модель для транспортной задачи. Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 единиц. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80 и 150 единиц. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей: Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты являются минимальными. 1. 2. 3. 4. 5. Задание 16 Вопрос 1. Укажите решение задачи целочисленного линейного программирования, обеспечивающее максимальное значение целевой функции. Геометрическая интерпретация задачи приведена на рисунке: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи: 1. 2. Fmin=22 3. 4. 5. Вопрос 3. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Используя метод Гомори, выберите максимальное значение целевой функции: 1. 2. 3. 4. 5. Fmax=163 Вопрос 5. Выбрать математическую модель для решения задачи: В аэропорту для перевозки пассажиров по n маршрутов может быть использовано m типов самолетов. Вместимость самолета i-го типа равна человек, а количество пассажиров, перевозимых по j-му маршруту за сезон, составляет человек. Затраты, связанные с использованием самолета i-го типа на j-м маршруте, составляют руб. Определить для каждого типа самолетов сколько рейсов и на каком маршруте должно быть сделано, чтобы потребность в перевозках была удовлетворена при наименьших общих затратах. 1. при условиях 2. при условиях 3. при условиях 4. при условиях 5. при условиях Задание 17 Вопрос 1. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции: при условиях 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции: при условиях 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи: Между n предприятиями отрасли необходимо распределить выпуск некоторой однородной продукции. Затраты, связанные с производством единиц продукции на j-м предприятии, зависят от объема производства и определяются функциями . Зная, что продукции должно быть изготовлено не менее b единиц, составить такой план производства продукции предприятиями отрасли, при котором общие затраты, связанные с ее производством, минимальны. 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции: при условиях 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции: 1. 2. 3. 4. 5. Задание 18 Вопрос 1. Укажите формулировку задачи в терминах общей задачи динамического программирования: 1. Найти максимум функции при условиях 2. Найти минимум функции при условиях 3. Найти минимум функции при условиях 4. Выбрать такую стратегию управления чтобы обеспечить максимум функции 5. Найти максимум функции Вопрос 2. К какому типу задач относится задача вида: при условиях 1. Задача линейного программирования 2. Задача динамического программирования 3. Задача нелинейного программирования 4. Транспортная задача 5. Целочисленная задача линейного программирования Вопрос 3. Укажите выражение, представляющее основное функциональное уравнение Беллмана или рекуррентное соотношение: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Как получить оптимальную стратегию управления методом динамического программирования? 1. В один этап 2. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на 2-м и т.д. вплоть до последнего n-го шага 3. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на двух первых шагах, затем на трех первых шагах и т.д., включая последний n-й шаг. 4. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на (n-1)-м, затем на (n-2)-м и т.д. вплоть до 1-го шага. 5. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на 2-х последних шагах, затем на 3-х последних и т.д. вплоть до первого шага. Вопрос 5. Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи: В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставками. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k-го года выделяется тыс. руб., найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли. 1. Критерий при условиях 2. - состояние системы в начале k-го года, - управление ; Критерий 3. - состояние системы в начале k-го года, - управление 4. Критерий при условиях 5. - управления Критерий
Задание 1 Вопрос 1. Пусть А, В - множества. Что означает запись , ? 1. Множество А является строгим подмножеством множества В, которое является истинным подмножеством множества А 2. Множества А, В являются бесконечными 3. Множества А, В являются конечными 4. Множества А, В не являются пустыми 5. Множества А, В равны Вопрос 2. Пусть А - непустое множество всех учеников школы , В - множество учеников пятых классов этой школы, С - множество учеников седьмых классов этой школы. Какая из записей выражает ложное утверждение? (Скобки здесь, как и в арифметических выражениях, задают порядок действий). 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Какое из утверждений не всегда (не для любых множеств А, В, С) является верным? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Пусть - множество дней недели, а - множество дней в январе. Какова мощность множества ? 1. 38 2. 217 3. 365 4. 31 5. 7 Вопрос 5. Рассмотрим множество показаний часов Что можно утверждать относительно элемента а множества ? . 1. 2. 3. 4. 5. Задание 2 Вопрос 1. Рассмотрим соответствие G между множествами А и В . В каком случае соответствие называется всюду определенным? 1. 2. 3. 4. 5. A=B Вопрос 2. Допустим, что существует взаимнооднозначное соответствие G между множествами А и В. Что можно сказать об их мощностях? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Какая функция не является суперпозицией функций 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Рассмотрим бинарное отношение R на множестве М. Что можно утверждать об R, если это отношение транзитивно? 1. Если , то имеет место 2. Если , , то тогда и только тогда, когда 3. В множестве М нет элемента а такого, что выполняется 4. Если для элементов a, b, c множества М выполняется и , то не выполняется 5. , где - транзитивное замыкание R Вопрос 5. Каким свойством не обладает отношение нестрогого порядка R? 1. Рефлексивность 2. Транзитивность 3. Антисимметричность 4. , где - транзитивное замыкание R 5. Симметричность Задание 3 Вопрос 1. Какова сигнатура булевой алгебры множеств? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Какая операция не является ассоциативной? 1. Объединение множеств 2. Деление чисел 3. Композиция отображений 4. Умножение дробей 5. Пересечение множеств Вопрос 3. Рассмотрим алгебру и алгебру . В каком случае можно утверждать, что ? 1. Если имеет место гомоморфизм А в В 2. Если имеет место гомоморфизм В в А 3. Если А и В изоморфны 4. Если совпадает арность операций и , и , и 5. Если существует отображение Г: , удовлетворяющее условию для всех и всех , где - арность операции и Вопрос 4. Какая операция является обязательным атрибутом полугруппы? 1. Умножение на 2 2. Извлечение квадратного корня 3. Бинарная ассоциативная 4. Композиция отображений 5. Операция отождествления Вопрос 5. Чем является полугруппа ? 1. Абелевой группой 2. Циклической группой 3. Свободной полугруппой 4. Моноидом 5. Циклической полугруппой Задание 4 Вопрос 1. Какое из чисел является совершенным? 1. 28 2. 36 3. 14 4. 18 5. 3 Вопрос 2. Какое из чисел не является треугольным? 1. 6 2. 10 3. 15 4. 21 5. 27 Вопрос 3. Чему равно число сочетаний из пяти по три ? 1. 10 2. 20 3. 9 4. 11 5. 12 Вопрос 4. Какая из формул, содержащих число сочетаний, не верна? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Предположим, что мы много раз бросаем пару игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях) и суммируем две выпавшие при каждом бросании цифры. Какую из перечисленных ниже сумм мы будем получать чаще других? 1. 1 2. 7 3. 6 4. 11 5. 12 Задание 5 Вопрос 1. Каким был первый наиболее важный шаг в расшифровке клинописных надписей, сделанный Мюнтером и Гротефендом? 1. Подбор наиболее вероятной версии перевода для часто встречающихся в клинописных надписях слов 2. Подбор букв из известных языков, похожих на буквы клинописи 3. Подбор наиболее близкого из современных языков 4. Ввод клинописных надписей в компьютер 5. Постановка в соответствие каждой букве клинописи некоторого натурального числа Вопрос 2. Сколько всего разных пар можно составить из 4-х букв? (Сколько различных двухзначных чисел можно образовать, используя только цифры 1, 2, 3, 4 ?) 1. 4 2. 8 3. 16 4. 20 5. 2 Вопрос 3. Какому условию удовлетворяют все вырожденные коды? 1. Одно слово (один объект, например, аминокислота) кодируется (может быть представлен или определен) не одним, а несколькими сочетаниями символов (кодонами) 2. Условию линейности 3. Условию взаимнооднозначного соответствия между кодами и кодируемыми объектами (состояниями) 4. Это коды – неперекрывающиеся 5. Эти коды – перекрывающиеся Вопрос 4. Какое высказывание не соответствует коду ДНК? 1. Существуют кодоны, которым не соответствует ни одна аминокислота 2. Этот код – линейный 3. Этот код – невырожденный 4. Этот код – неперекрывающийся 5. Этот код – триплетный Вопрос 5. Какую важнейшую комбинаторную задачу решил 17 февраля 1869 г. Дмитрий Иванович Менделеев? 1. Задачу об обходе Кенигсбергских мостов 2. Задачу составления периодической системы химических элементов 3. Задачу расшифровки крито-микенского письма 4. Задачу об одновременном выпадании двух шестерок при бросании пары игральных костей 5. Задачу об оптимальном содержании спирта в крепких алкогольных напитках Задание 6 Вопрос 1. Какое условие (предположение) характерно для всех комбинаторных задач? 1. В комбинаторных задачах всегда идет речь только о конечных множествах 2. В комбинаторных задачах никогда не используется перебор вариантов 3. В комбинаторных задачах всегда используется понятие бесконечности 4. Комбинаторные задачи всегда приводят к дифференциальным уравнениям 5. Комбинаторные задачи никогда не требуют составить алгоритм Вопрос 2. Как быстрее решить задачу поиска (построения) магического квадрата третьего порядка, без использования компьютера? 1. С помощью геометрии Лобачевского 2. С помощью геометрии Евклида 3. С помощью дифференцирования или интегрирования 4. С помощью перебора и анализа всех квадратных матриц размером 3 на 3 5. Определив сумму по каждой из его строк, столбцов и диагоналей и составив все возможные тройки чисел, дающие эту сумму Вопрос 3. Сколько всего существует способов расположения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде магического квадрата? (Под магическим квадратом следует понимать матрицу, сумма элементов которой по каждому столбцу, строке и диагонали одна и та же) 1. 1 2. 2 3. 4 4. 8 5. 12 Вопрос 4. Сколько способов (вариантов) расстановки восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не мог взять другого, существует? 1. 1 2. 4 3. 12 4. 56 5. 92 Вопрос 5. Какое максимальное число коней, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске? 1. 16 2. 30 3. 32 4. 36 5. 24 Задание 7 Вопрос 1. Для какого числа n не может быть построена пара ортогональных квадратов? 1. 2. n=5 3. n=6 4. 5. n=14 Вопрос 2. Что называют блок-схемой в комбинаторике? 1. Таблицу всевозможных вариантов комбинирования элементов некоторого множества 2. Размещение элементов заданных множеств в блоки, подчиненное некоторым условиям относительно появления элементов и их пар 3. Квадратную матрицу, элементами которой являются пары букв 4. Матрицу, элементами которой являются тройки чисел 5. Расположение букв в виде прямоугольника размерами на , где n – натуральное число Вопрос 3. Как формулируется принцип Дирихле? 1. Когда на шахматную доску, имеющую 8 горизонталей, ставят 10 ферзей, то хотя бы одна пара будет бить друг друга 2. Если некоторые из n точек плоскости соединены отрезками, то всегда найдутся две точки, из которых выходит поровну отрезков 3. Когда на шахматную доску, имеющую 8 горизонталей, ставят 9 ферзей, то хотя бы одна пара ферзей будет бить друг друга 4. Если в n ящиков положено более, чем n предметов, то хотя бы в одном ящике лежат два или более предметов 5. Если в зале находится n человек, то хотя бы двое из них имеют одинаковое число знакомых среди присутствующих в зале Вопрос 4. При попарном соединении какого числа точек отрезками двух цветов нельзя гарантировать, что найдутся три точки, являющиеся вершинами одноцветного треугольника? 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 9 Вопрос 5. Как можно сформулировать теорему Ф. Холла о деревенских свадьбах? 1. Если для любых k юношей деревни пересечение множеств их подруг содержит по крайней мере k девушек, то каждый юноша деревни может выбрать себе жену из числа своих подруг 2. В деревне относительно каждого юноши и девушки известно, дружат они или нет. Если для k юношей объединение множеств их подруг содержит по крайней мере k девушек, то каждый юноша этой деревни сможет выбрать себе жену из числа своих подруг 3. Если для любых k юношей деревни объединение множеств их подруг содержит менее k девушек, то каждый юноша этой деревни сможет выбрать себе жену из числа своих подруг, если они до этого момента не выйдут замуж 4. Если в деревне n юношей и k девушек, то все юноши смогут найти себе невесту в своей деревне, если 5. Пусть в каком-нибудь множестве Х выделены подмножества Для того, чтобы в Х можно было выбрать n различных элементов таких, что , необходимо и достаточно чтобы объединение любых k заданных подмножеств содержало не менее k элементов Задание 8 Вопрос 1. Сколько существует двухзначных чисел, не содержащих цифры 0 и 1 ? 1. 20 2. 99 3. 81 4. 64 5. 72 Вопрос 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно (пользуясь только одним словарем) выполнять переводы с любого из пяти языков (например, русского, французского, немецкого, итальянского, английского) на любой другой из этих пяти? 1. 20 2. 25 3. 16 4. 55 5. 10 Вопрос 3. Каково число размещений с повторениями из n по k? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Сколько всего разных символов (букв, цифр, знаков препинания ... ) можно закодировать (представить) кортежами из точек и тире, имеющими длину от 1 до 5 ? 1. 30 2. 32 3. 126 4. 64 5. 62 Вопрос 5. Сколько всего кортежей вида можно образовать, если в качестве может быть взят любой из элементов множества , мощность которого равна ? 1. 2. 3. 4. 5. Задание 9 Вопрос 1. Сколько размещений без повторений из 10 элементов по 3 существует? 1. 100 2. 720 3. 999 4. 1000 5. 504 Вопрос 2. Сколькими способами можно поставить две ладьи разных цветов на шахматной доске (8x 8) так, чтобы они не били друг друга? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Сколько разных кортежей букв длины 7, можно образовать перестановкой букв в слове “сколько”? 1. 7! 2. 420 3. 630 4. 1260 5. 2520 Вопрос 4. Допустим, что для посадки нам требуется 9 деревьев, а в магазине есть саженцы деревьев пяти сортов (пород). Из скольких вариантов (составов) покупки 9 деревьев нам придется выбирать? 1. Из 120 2. Из 240 3. Из 715 4. Из 672 5. Из 849 Вопрос 5. Сколько подмножеств, содержащих m элементов, у множества мощности k ? 1. 2. 3. 4. 5. Задание 10 Вопрос 1. Какая из формул не является верной для любых натуральных чисел k, n, удовлетворяющих условию ? 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. При каком условии формула перекрытий принимает вид ? 1. 2. 3. Если число эквивалентов пересечения любых r множеств зависит только от числа r 4. 5. при Вопрос 3. Рассмотрим передачу двоичных кодовых сообщений фиксированной длины. При каком условии можно правильно восстановить сообщение, если известно, что ошибка допущена в одном разряде? 1. Если расстояние между ближайшими кодовыми словами не превосходит 2 2. Если расстояние между ближайшими кодовыми словами не менее 3 3. Если длина передаваемого слова нечетна 4. Если сумма единиц в этом сообщении четна 5. Если вместе со словом будет передана контрольная сумма его единичных разрядов Вопрос 4. Что означает запись в формуле перекрытий? 1. Мощность множества 2. n-й элемент множества 3. Множество элементов в U, не принадлежащих 4. Мощность множества элементов в U, не принадлежащих 5. Число слагаемых в формуле перекрытий Вопрос 5. В студенческой группе всего 45 студентов. Из них в футбольной секции занимаются 31 человек, в шахматной – 28, в баскетбольной – 30. Одновременно в футбольной и шахматной секциях занимаются 20 студентов этой группы, в баскетбольной и футбольной – 22 студента, в шахматной и баскетбольной – 18 студентов. Кроме того известно, что 12 студентов этой группы занимаются одновременно в трех упомянутых секциях. Сколько студентов группы не занимается ни в одной из упомянутых секций? 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 Задание 11 Вопрос 1. Укажите математическую модель для задачи: Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производства 1 т карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида. Вид сырья Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели Общее количество сырья (т) А В С Сахарный песок 0.8 0.5 0.6 800 Патока 0.4 0.4 0.3 600 Фруктовое пюре - 0.1 0.1 120 Прибыль от реализации 1 т продукции (руб) 108 112 126 Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации. 1. Найти минимум функции при условиях: 2. Найти максимум функции при условиях: 3. Найти минимум функции при условиях: 4. Найти максимум функции при условиях: 5. Найти максимум функции при условиях: Вопрос 2. Укажите математическую модель для задачи: При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в следующей таблице: Питательные вещества Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма вида I II III А 1 3 4 В 2 4 2 С 1 4 3 Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 копеек, корма II вида – 12 копеек и корма III вида – 10 копеек. 1. Найти максимум функции при условиях: 2. Найти минимум функции при условиях: 3. Найти минимум функции при условиях: 4. Найти максимум функции при условиях: 5. Найти минимум функции при условиях: Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи: В трех пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 420, 380, 400 т. Этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах, соответственно равных 260, 520, 420 т. Стоимости перевозок 1 т груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны и задаются матрицей (в условных единицах): , где Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок. 1. Найти минимум функции при условиях: 2. Найти минимум функции при условиях: 3. Найти минимум функции при условиях: 4. Найти минимум функции при условиях: 5. Найти минимум функции при условиях: Вопрос 4. Укажите неэквивалентную форму записи для задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Укажите стандартную форму записи для задачи 1. 2. 3. 4. 5. Задание 12 Вопрос 1. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего максимум целевой функции F. Ответ2 Вопрос 2. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего минимум целевой функции F. Ответ4 Вопрос 3. Указать эквивалентную форму записи задачи, допускающую геометрическую интерпретацию решений в виде многоугольника: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. при 4. Fmax=15 при 5. при Вопрос 5. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. Fmin=-15 при 4. при 5. Fmin=-9 при Задание 13 Вопрос 1. Указать максимальное значение целевой функции для задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Указать решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Задание 14 Вопрос 1. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Исходная задача линейного программирования имеет оптимальный план со значением целевой функции . Какое из чисел является значением целевой функции двойственной задачи? 1. 0 2. 5 3. 10 4. 20 5. Вопрос 5. Геометрическая интерпретация решения исходной задачи линейного программирования, состоящей в максимизации целевой функции, приведена на рисунке: Укажите решение двойственной задачи линейного программирования. 1. 2. 3. 4. 5. Задание 15 Вопрос 1. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. при 4. при 5. при Вопрос 2. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 1. 2. при 3. при 4. при 5. при Вопрос 3. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 1. при 2. при 3. при 4. при 5. при Вопрос 4. Укажите математическую модель для транспортной задачи. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 160, 60, 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 единиц груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной. 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Укажите математическую модель для транспортной задачи. Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 единиц. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80 и 150 единиц. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей: Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты являются минимальными. 1. 2. 3. 4. 5. Задание 16 Вопрос 1. Укажите решение задачи целочисленного линейного программирования, обеспечивающее максимальное значение целевой функции. Геометрическая интерпретация задачи приведена на рисунке: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи: 1. 2. Fmin=22 3. 4. 5. Вопрос 3. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Используя метод Гомори, выберите максимальное значение целевой функции: 1. 2. 3. 4. 5. Fmax=163 Вопрос 5. Выбрать математическую модель для решения задачи: В аэропорту для перевозки пассажиров по n маршрутов может быть использовано m типов самолетов. Вместимость самолета i-го типа равна человек, а количество пассажиров, перевозимых по j-му маршруту за сезон, составляет человек. Затраты, связанные с использованием самолета i-го типа на j-м маршруте, составляют руб. Определить для каждого типа самолетов сколько рейсов и на каком маршруте должно быть сделано, чтобы потребность в перевозках была удовлетворена при наименьших общих затратах. 1. при условиях 2. при условиях 3. при условиях 4. при условиях 5. при условиях Задание 17 Вопрос 1. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции: при условиях 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 2. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции: при условиях 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи: Между n предприятиями отрасли необходимо распределить выпуск некоторой однородной продукции. Затраты, связанные с производством единиц продукции на j-м предприятии, зависят от объема производства и определяются функциями . Зная, что продукции должно быть изготовлено не менее b единиц, составить такой план производства продукции предприятиями отрасли, при котором общие затраты, связанные с ее производством, минимальны. 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции: при условиях 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции: 1. 2. 3. 4. 5. Задание 18 Вопрос 1. Укажите формулировку задачи в терминах общей задачи динамического программирования: 1. Найти максимум функции при условиях 2. Найти минимум функции при условиях 3. Найти минимум функции при условиях 4. Выбрать такую стратегию управления чтобы обеспечить максимум функции 5. Найти максимум функции Вопрос 2. К какому типу задач относится задача вида: при условиях 1. Задача линейного программирования 2. Задача динамического программирования 3. Задача нелинейного программирования 4. Транспортная задача 5. Целочисленная задача линейного программирования Вопрос 3. Укажите выражение, представляющее основное функциональное уравнение Беллмана или рекуррентное соотношение: 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 4. Как получить оптимальную стратегию управления методом динамического программирования? 1. В один этап 2. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на 2-м и т.д. вплоть до последнего n-го шага 3. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на двух первых шагах, затем на трех первых шагах и т.д., включая последний n-й шаг. 4. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на (n-1)-м, затем на (n-2)-м и т.д. вплоть до 1-го шага. 5. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на 2-х последних шагах, затем на 3-х последних и т.д. вплоть до первого шага. Вопрос 5. Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи: В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставками. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k-го года выделяется тыс. руб., найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли. 1. Критерий при условиях 2. - состояние системы в начале k-го года, - управление ; Критерий 3. - состояние системы в начале k-го года, - управление 4. Критерий при условиях 5. - управления Критерий
-