Задача №308. а) Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:
, ;
б) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
.
Решение:
а) найдем сначала общее решение дифференциального уравнения:
,
рассмотрим соответствующее однородное уравнение:
- уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные:
- умножим обе части уравнения на , получим:
, проинтегрируем полученное уравнение:
,
- получили общее решение однородного уравнения, теперь положим , тогда:
, подставим и в исходное неоднородное уравнение, получим:
где с произвольная постоянная, следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения:
или , где с- произвольная постоянная. Найдем теперь частное решение удовлетворяющее заданному условию:
, т.е. искомое решение задачи Коши:
.
б) ,
положим , тогда , подставляем в уравнение, получим:
,
рассмотрим однородное уравнение:
- уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные:
- умножим обе части уравнения на , получим:
, проинтегрируем полученное уравнение:
- получили общее решение однородного уравнения, положим теперь , тогда:
, подставим полученные и в неоднородное уравнение , получим:
,
где с произвольная постоянная, следовательно, общее решение неоднородного уравнения: или или можно записать .
Далее, т.к. , то
т.е. , где - произвольные постоянные, - искомое решение данного дифференциального уравнения.
Ответ: а) ; б) .
Задача №368. В первой урне 5 белых и 9 черных шаров. Во второй урне 11 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 3 шара, а затем из второй урны вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар черный.
Решение:
пусть А событие означающее появление черного шара.
Возможно четыре варианта перекладывания 3 шаров из первой во вторую урну:
БББ
БЧЧ (причем три варианта порядка перекладывания БЧЧ, ЧБЧ, ЧЧБ)
ЧББ (тоже три варианта ЧББ, БЧБ, ББЧ)
ЧЧЧ
где Б белый шар, Ч черный шар, тогда
, при этом ;
, при этом ;
, при этом ;
, при этом .
Искомую вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:
, т.е. получим:
.
Ответ: 0,497.
Контрольная работа №6
Задача №308. а) Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:
x^2y'-2xy=3, y(1)=0.
б) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:
y''+y'tgx=-4cos^2(x).
Задача №318. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка:
y"-2y'+5y=25xe^(2x)
удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=3.
Задача №328. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.
dx/dt=-x+8y, dy/dt=x+y, x(0)=2, y(0)=-2.
Задача №338. Исследовать сходимость числового ряда:
а) ; б) .
Задача №348. Найти область сходимости степенного ряда
Задача №358. Разложить функцию f(x)=2x в ряд Фурье в интервале (-п,п).
Контрольная работа №7
Задача №368. В первой урне 5 белых и 9 черных шаров. Во второй урне 11 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 3 шара, а затем из второй урны вынули один шар. Найти вероятность того, что этот шар черный.
Задача №378. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,6. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена от 345 до 375 раз.
Задача №388. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х вполне определяется четырьмя числами:а=4, b=5, c=6 и m , три из которых известны (рис.1). Требуется найти: а) неизвестное число m; б) функцию распределения F(x) и построить ее график; в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Задача №398. Плотность распределения вероятностей нормальной случайной величины Х имеет вид . Требуется найти: а) неизвестный параметр ; б) математическое ожидание и дисперсию ; в) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (1,2); г) вероятность выполнения неравенства .
Задача №408. Из текущей продукции токарного автомата был произведен выбор n = 200 валиков. Результаты измерения отклонения диаметров валиков от номинала мкм приведены в табл. 1 (число валиков в соответствующем диапазоне). Требуется найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию случайной величины Х отклонения диаметра валика от номинала. Полагая, что Х имеет нормальное распределение, найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания генеральной совокупности. Степень надежности считать равной 0,95.
Задача №418. В табл.2 приведены данные зависимости потребления Y (усл.ед.) от дохода Х (усл.ед.) для некоторых домашних хозяйств.
1. В предположении, что между Y и Х существует линейная зависимость, найдите точечные оценки коэффициентов линейной регрессии.
2. Найдите стандартное отклонение s и коэффициент детерминации .
3. В предположении нормальности случайной составляющей регрессионной модели проверьте гипотезу об отсутствии линейной зависимости между Y и Х.
4. Каково ожидаемое потребление домашнего хозяйства с доходом усл.ед.? Найдите доверительный интервал для прогноза.
Дайте интерпретацию полученных результатов. Уровень значимости во всех случаях считать равным .
нет