Введение Используя градиентные методы, можно найти решение любой задачи нелинейного программирования. Однако в общем случае применение этих методов позволяет найти точку локального экстремума. Процесс нахождения решения задачи с помощью градиентных методов состоит в том, что начиная с некоторой точки X(k) осуществляется последовательный переход к некоторым другим точкам, до тех пор, пока не выявляется приемлемое решение исходной задачи. Но в данной работе стоит задача применении двух градиентных методов для решения систем вида: {█(α_11 x_1+α_12 x_2+⋯+α_1n x_n=b_1,@α_21 x_1+α_22 x_2+⋯+α_2n x_n=b_2@…@α_n1 x_1+α_n2 x_2+⋯+α_nn x_n=b_n )┤ Найти точное решение, т.е. вектор ¯x=(x_1,x_2,…,x_n) возможно с помощью методов оптимизации. Пусть Аu = f – система линейных уравнений, будем так же считать, что А — положительный оператор, т.е. A > 0, это означает, что для любого ненулевого вектора u выполнено (Au, u) > 0. Ставится задача об отыскании элемента v, придающего наименьшее значение функционалу Ф(u): . Из математического анализа и вычислительной математики известно, что если элемент доставляет минимальное значение функционалу Ф(u), то он является решением системы линейных уравнений Аu = f . Следовательно решение СЛАУ Аu = f можно найти с помощью итерационных методов, в которых следующие приближения в итерационном процессе находятся с помощью градиентных методов.
Введение…………………………………………………………………………...7 1 Метод градиентного спуска для решения систем линейных уравнений ...…8 2 Метод сопряженных градиентов ……………………………..……………….9 3 Описание программ……………………………………………………………11 4 Анализ и сравнение алгоритмов……………………………………………...13 Заключение………………………………………………………………………19 Список литературы………………………………………………………………20 Приложение А Основная процедура метода градиентного спуска…………..21 Приложение Б Основная процедура метода сопряженных градиентов……...23
1. Мудров А.Е.,Численные методы для ПЭВМ / Мудров А.Е. – Томск: МП \"РАСКО\", 1991г. – 272 с.
2. Н.И.Глебов, Ю.А.Кочетов, А.В.Плясунов. Методы оптимизации / Н.И.Глебов, Ю.А.Кочетов, А.В.Плясунов – М.: Наука, 2000г – 156с.
3. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение./ Каханер Д., Моулер К., Нэш С. – М., Мир, 2001г – 575 с.
3. http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/2/9.html