№15. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) Длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ; 4) площадь грани А1А2А3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1А2А3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 . Сделать чертеж. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3). Решение: Вектор лежит на ребре пирамиды, тогда его координаты будут равны. Длину вектора вычисляют по формуле. Вектор принадлежит отрезку, тогда по определению скалярного произведения определим координаты вектора.
№5. Даны векторы а (а1; а2; а3), b (b1; b2; b3), c (c1; с2; с3) и d (d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, с, образуют базис, и найти координаты вектора d а этом базисе. a (2; 4; 1), b (1; 3; 6), c (5; 3; 1), d (24; 20; 6). №15. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) Длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 ; 4) площадь грани А1А2А3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1А2А3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 . Сделать чертеж. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3). №25. Даны вершины трапеции A ( -3; -2), B (4; -1), С (1; 3) ABCD (АD||BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. №35. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А (2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5. №45. Линия задана уравнением r=r(ф) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от ф=0 до ф=2п и придавая ф значения через промежуток п/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить какая это линия. r=1/(2+2cosф).
Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений/ Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П. Под ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высш.школа, 1983. – 128 с.