Алгебраические и трансцендентные числа

Пусть даны два поля P и F, такие, что P – подполе поля F. Определение 1. Число  называется алгебраическим над полем P, ес-ли  является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из P. Определение 2. Комплексные числа, являющиеся алгебраическими над по-лем рациональных чисел, называются алгебраическими числами. Пример. – корень многочлена с коэффициентами из поля дей-ствительных чисел: – алгебраическое над полем действительных чисел. Легко заметить, что является алгебраическим и над полем рациональ-ных чисел. Из определения легко заметить, что если  – корень многочлена , то  – корень , где g – многочлен над полем P. Определение 3. Пусть P – подполе F,  – алгебраический над полем P элемент. Тогда нормированный многочлен наименьшей степени, для которого  является корнем, называется минимальным многочленом элемен-та . Символом будем обозначать степень многочлена h. Теорема 1. Пусть  – алгебраический над полем P элемент, h – мини-мальный для  многочлен. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) h неприводим над P; 2) если h1 тоже является минимальным многочленом элемента , то ; 3) если , для которого  является корнем ( ), то h|g; 4) если , для которого  является корнем, k – нормированный мно-гочлен, неприводимый над P, то h=k. Доказательство: 1) Предположим, что h – приводим над P. Тогда , f и g – много-члены над полем P, , , . Так как многочлен h нормированный, то многочлены f и g тоже можно сделать нормиро-ванными.  – по условию корень многочлена h, то есть . Зна-чит, . Очевидно, что одно из этих чисел или равно нулю. Пусть для определенности . Это утверждение противоречит тому, что h минимальный многочлен для элемента . Поэтому h неприводим над полем P.