Задача №10. Однородный стержень длины l может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов (рис.). Систему равномерно вращают с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением, найти угол в между стержнем и вертикалью.
Решение:
Воспользуемся уравнением моментов относительно неподвижной точки подвеса стержня О. Для этого сначала найдем момент импульса стержня относительно этой точки.
Рассмотрим бесконечно маленький кусочек стержня длиной dx , находящийся на расстоянии х от точки О. Его масса равна, где - масса всего стержня. Этот кусочек движется по окружности радиуса со скоростью v = O)r = O)xsin в в направлении от нас перпендикулярно плоскости рисунка. Поэтому момент импульса этого кусочка стержня относительно точки О равен. Вектор dM в рассматриваемый момент времени лежит в плоскости рисунка и направлен перпендикулярно стержню, как показано на рис. 1.31.
Полный момент импульса стержня относительно точки О найдем с помощью интегрирования: Вектор М направлен перпендикулярно стержню, лежит в плоскости, проходящей через вертикальную ось и стержень, и вращается вместе с
этой плоскостью вокруг вертикальной оси с угловой скоростью О), оставаясь неизменным по длине. Найдем скорость изменения момента импульса стержня. Рассматривая вектор М как радиус-вектор некоторой точки, расположенной на его конце, приходим к выводу, что dM/dt имеет смысл
линейной скорости вращения этой точки по окружности с "радиусом", то есть. Уравнение моментов относительно точки подвеса стержня О может быть записано в виде,
откуда, после подстановки выражения для момента импульса стержня относительно точки О, получаем искомый угол отклонения стержня от вертикали. Если правая часть полученного выражения больше единицы, то угол в между стержнем и вертикалью равен.
Задача №1. Небольшую шайбу поместили на внутреннюю гладкую поверхность неподвижного круглого конуса (рис.) на высоте h1 от его вершины и сообщили ей в горизонтальном направлении по касательной к поверхности конуса скорость v1 . На какую высоту h2 от вершины конуса поднимется шайба?
Задача №2. Из пушки массы М, находящейся на наклонной плоскости, в момент, когда пушка покоится, производится выстрел и вылетает снаряд массы m с начальной скоростью v0 относительно земли. Определить на какую высоту поднимется пушка в результате отдачи, если угол наклона плоскости равен φ, а коэффициент трения между пушкой и плоскостью равен μ. Продолжительность выстрела считать пренебрежимо малой.
Задача №3. Однородный шар массы m = 4,0 кг движется поступательно по поверхности стола под действием постоянной силы F, приложенной, как показано на рис. 1.24, где угол α = 30°. Коэффициент трения между шаром и столом k = 0,20. Найти F и ускорение шара.
Задача №4. Горизонтально расположенный тонкий однородный стержень массы m подвешен за концы на двух вертикальных нитях. Найти силу натяжения одной из нитей сразу после пережигания другой нити.
Задача №5. Система, показанная на рис., состоит из двух одинаковых однородных цилиндров, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти ускорение оси нижнего цилиндра в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет.
Задача №6. В системе, показанной на рис., известны масса m груза А, масса М ступенчатого блока В, момент инерции J последнего относительно его оси и радиусы ступеней блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза А.
Задача №7. Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости ω0 и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен k?
Задача №8. Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω0 и поместили затем в угол. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен k. Найти: а) сколько времени будет вращаться цилиндр; б) сколько оборотов сделает цилиндр до остановки.
Задача №9. Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m « М, найти: а) скорость летевшей пули; б) приращение импульса системы «пуля - стержень» за время удара и причину изменения этого импульса; в) на какое расстояние х от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы «пуля - стержень» не изменился в процессе удара.
Задача №10. Однородный стержень длины l может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через один из его концов (рис.). Систему равномерно вращают с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси. Пренебрегая трением, найти угол в между стержнем и вертикалью.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб.пособие. - 2-е изд.,перераб.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1988. - 416 с.,ил.