4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по 25 литейным цехам заводов:
i X1i X2i Yi i X1i X2i Yi i X1i X2i Yi
1 14,6 4,2 239 10 25,3 0,9 198 19 17 9,3 282
2 13,5 6,7 254 11 56 1,3 170 20 33,1 3,3 196
3 21,5 5,5 262 12 40,2 1,8 173 21 30,1 3,5 186
4 17,4 7,7 251 13 40,6 3,3 197 22 65,2 1 176
5 44,8 1,2 158 14 75,8 3,4 172 23 22,6 5,2 238
6 111,9 2,2 101 15 27,6 1,1 201 24 33,4 2,3 204
7 20,1 8,4 259 16 88,4 0,1 130 25 19,7 2,7 205
8 28,1 1,4 186 17 16,6 4,1 251
9 22,3 4,2 204 18 33,4 2,3 195
Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне ; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.
Решение.
1) Найдем уравнение парной регрессии Y на X1. Наиболее распространенной формой связи является линейная парная регрессия вида y=a+bx. Для нахождения коэффициентов применяем метод наименьших квадратов. Получаем систему нормальных уравнений:
Для подсчета коэффициентов используется расчетная таблица, три последних столбца нужны для оценки приближения, заполняются после нахождения коэффициентов.
i X1i X2i Yi X1i*Y (X1)² Y²
1 14,6 4,2 239 3489,4 213,2 57121
2 13,5 6,7 254 3429 182,3 64516
3 21,5 5,5 262 5633 462,3 68644
4 17,4 7,7 251 4367,4 302,8 63001
5 44,8 1,2 158 7078,4 2007 24964
6 111,9 2,2 101 11301,9 12522 10201
7 20,1 8,4 259 5205,9 404 67081
8 28,1 1,4 186 5226,6 789,6 34596
9 22,3 4,2 204 4549,2 497,3 41616
10 25,3 0,9 198 5009,4 640,1 39204
11 56 1,3 170 9520 3136 28900
12 40,2 1,8 173 6954,6 1616 29929
13 40,6 3,3 197 7998,2 1648 38809
14 75,8 3,4 172 13037,6 5746 29584
15 27,6 1,1 201 5547,6 761,8 40401
16 88,4 0,1 130 11492 7815 16900
17 16,6 4,1 251 4166,6 275,6 63001
18 33,4 2,3 195 6513 1116 38025
19 17 9,3 282 4794 289 79524
20 33,1 3,3 196 6487,6 1096 38416
21 30,1 3,5 186 5598,6 906 34596
22 65,2 1 176 11475,2 4251 30976
23 22,6 5,2 238 5378,8 510,8 56644
24 33,4 2,3 204 6813,6 1116 41616
25 19,7 2,7 205 4038,5 388,1 42025
∑ 919,2 87 5088 165106 48690 1080290
Получаем следующую систему уравнений:
Решаем систему, получаем уравнение регрессии:
Y=257,7604 1,4752X.
С увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 1.48 рубля. Влияние не учтенных в данной модели факторов характеризуется коэффциентом 257.7604.
2. Для нахождения уравнения множественной регрессии используется табличный редактор Microsoft Excel. Уравнение множественной регрессии имеет вид:
Это означает, что если принимать во внимание производственный брак, то с увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 0.94 рубля, с увеличением брака на 1% себестоимость тонны литья увеличивается в среднем на 16.94 рубля. Влияние прочих, не учтенных в модели факторов, характеризуется коэффициентом 164.1406.
3. Чтобы оценить значимость уравнения парной регрессии на уровне =0.05, необходимо сравнить фактическое и табличное значение F-критерия Фишера. Для расчета фактического значения нужно найти линейный коэффициент парной корреляции согласно формуле:
Подставляем значения среднеквадратических отклонений, получаем
Связь тесная, обратная.
Вычисляем фактическое значение критерия:
Это значение больше табличного 2.08, следовательно, уравнение является значимым.
Вариация результата на 50,89% объясняется вариацией фактора X1.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации:
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 15.12%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации.
Оценим уравнение множественной регрессии. Критическое значение критерия Фишера найдено с помощью табличного редактора Microsoft Excel, F=66.69367. Табличное значение для уровня значимости =0.05 равно 2.08, оно меньше критического, следовательно, уравнение множественной регрессии является значимым.
Коэффициент множественной корреляции равен 0.941785, связь весьма тесная, прямая.
Значения скорректированного и некорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации равны соответственно 0.87366 и 0.886959. Некорректированный коэффициент множественной детерминации характеризует долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата, эта доля равна 88.7%, что указывает на тесную связь факторов с результатом. Скорректированный коэффициент множественной детерминации не зависит от числа факторов в модели, определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Сравнивая модели, построенные с учетом брака и без учета брака, получаем, что модель, построенная с учетом брака, точнее описывает производственный процесс, чем модель, построенная без учета брака. Коэффициент указывает на высокую детерминированность результата y (более 80%) факторами X1, X2.
4. Чтобы установить значимость коэффициента регрессии при X2, нужно рассматривать значение частного F-критерия, это значение оценивает статистическую значимость присутствия фактора в уравнении. Частное значение критерия, согласно приложению табличного редактора F=7.5399, это означает, что коэффициент регрессии при X2 является значимым, поскольку частное значение критерия больше табличного 2.08 на уровне значимости =0.05. Проверим результат, используя критерий Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза о случайной природе показателей H0, то есть о незначительном отличии показателей от нуля. Затем проводится оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции путем сопоставления значений с помощью t-критерия Стьюдента.
Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента при X2 найдем как квадратный корень из соответствующего частного F-критерия Фишера:
Это значение больше табличного 2.10, следовательно, коэффициент регрессии при X2 является статистически значимым, гипотеза H0 отвергается.
5. Найдем 95%-ный доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья в цехах, в которых выработка литья на 1 работающего составляет 40 тонн, используя уравнение парной регрессии пункта 1.
Оценки уравнения регрессии, как выяснилось в предыдущих пунктах, позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение выработки литья на 1 работающего, по условию, равно 40 тонн.
Рассчитаем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле:
Найдем
Используем дополнительную расчетную таблицу для определения стандартной ошибки.
I X1i Y Yx Y-Yx (Y-Yx)² X1i-
(X1i- )²
1 58 170.4 185.17 -14.77 218.1529 8.83 77.9689
2 64 171.6 173.58 -1.98 3.9204 14.83 219.9289
3 39.5 233.3 220.9 12.4 153.76 -9.67 93.5089
4 43.8 157.8 212.59 -54.79 3001.944 -5.37 28.8369
5 29.3 291.7 240.59 51.11 2612.232 -19.87 394.817
6 43.8 191.8 212.59 -20.79 432.2241 -5.37 28.8369
7 36.5 301.7 226.69 75.01 5626.5 -12.67 160.5289
8 74.6 201.3 153.12 48.18 2321.312 25.43 646.6849
9 38.1 219 223.6 -4.6 21.16 -11.07 122.5449
10 18.6 225.3 261.26 -35.96 1293.122 -30.57 934.5249
11 22.2 217.4 254.3 -36.9 1361.61 -26.97 727.3809
12 76.6 182.8 149.25 33.55 1125.602 27.43 752.4049
13 37.9 245.5 223.99 21.51 462.6801 -11.27 127.0129
14 51.8 204.3 197.14 7.16 51.2656 2.63 6.9169
15 75.4 164 151.57 12.43 154.5049 26.23 688.0129
16 28.4 268 242.33 25.67 658.9489 -20.77 431.3929
17 48.2 199.6 204.1 -4.5 20.25 -0.97 0.9409
18 71.6 114.1 158.91 -44.81 2007.936 22.43 503.1049
19 75.4 113.3 151.57 -38.27 1464.593 26.23 688.0129
20 49.7 171.6 201.2 -29.6 876.16 0.53 0.2809
983.4 4044.5 23867.88 7057.296
Таким образом, стандартная ошибка прогноза будет вычислена с помощью расчетных значений:
Построим доверительный интервал прогноза. Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% случаев, составит
Обратимся к найденному в пункте 1 уравнению линейной регрессии:
Для построения доверительного интервала вычислим прогнозное значение y с помощью уравнения линейной регрессии:
Далее строим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала прогноза по формулам:
Таким образом, доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья построен.
1.2. Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды 20 млн. руб. Простая ставка 15% годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.
(а S=20,921 млн. руб.; б S=20,933 млн. руб.; в S=20,913 млн. руб.)
Решение.
Предварительно определим число дней ссуды: точное 112, приближенное 110.
А) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
млн. руб.
б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
млн. руб.
в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):
млн. руб.
2.13. Дана функция
При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой случайной величины? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
3.7. Имеются следующие данные об уровне механизации работ X(%) и производительности труда Y (т/ч) для 14 однотипных предприятий:
xi 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76
yi 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48
Необходимо: а) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; б) найти уравнение регрессии Y по X.
3.8. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть X и индексом нефтяных компаний Y получены следующие данные:
Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по X; б) используя уравнение регрессии, найти среднее значение индекса при цене на нефть 16,5 ден. ед.
4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по 25 литейным цехам заводов:
i X1i X2i Yi i X1i X2i Yi i X1i X2i Yi
1 14,6 4,2 239 10 25,3 0,9 198 19 17 9,3 282
2 13,5 6,7 254 11 56 1,3 170 20 33,1 3,3 196
3 21,5 5,5 262 12 40,2 1,8 173 21 30,1 3,5 186
4 17,4 7,7 251 13 40,6 3,3 197 22 65,2 1 176
5 44,8 1,2 158 14 75,8 3,4 172 23 22,6 5,2 238
6 111,9 2,2 101 15 27,6 1,1 201 24 33,4 2,3 204
7 20,1 8,4 259 16 88,4 0,1 130 25 19,7 2,7 205
8 28,1 1,4 186 17 16,6 4,1 251
9 22,3 4,2 204 18 33,4 2,3 195
Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне ; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.
4.6. Имеются следующие данные о годовых ставках месячных доходов по трем акциям за шестимесячный период:
Акция Доходы по месяцам, %
А 5,4 5,3 4,9 4,9 5,4 6
В 9,3 6,2 6,1 5,8 5,7 5,7
С 6,2 9,2 9,1 9 8,7 8,6
Есть основания предполагать, что доходы Y по акции C зависят от доходов
X1 и X2 по акциям A и B. Необходимо: а) составить уравнение регрессии Y по X1 и X2; б) найти множественный коэффициент детерминации R2 и пояснить его смысл; в) проверить значимость полученного уравнения регрессии на уровне ; г) оценить средний доход по акции C, если доходы по акциям A и B составили соответственно 5,5 и 6,0%.
5.6. Имеются следующие данные о потреблении некоторого продукта Y (усл. ед.) в зависимости от уровня урбанизации (доли городского населения) X1, относительного образовательного уровня X2 и относительного заработка X3 для девяти географических районов:
i i
(номер Xi1 Xi2 Xi3 yi (номер Xi1 Xi2 Xi3 yi
района) района)
1 42,2 11,2 31,9 167,1 6 44,5 10,8 8,5 174,6
2 48,6 10,6 13,2 174,4 7 39,1 10,7 24,3 163,7
3 42,6 10,6 28,7 160,8 8 40,1 10 18,6 174,5
4 39 10,4 26,1 162 9 45,9 12 20,4 185,7
5 34,7 9,3 30,1 140,8
Средние значения
Стандартные отклонения
Корреляционная матрица:
X1 X2 X3 Y
X1 1 0,684 -0,616 0,802
X2 0,684 1 -0,173 0,77
X3 -0,616 -0,173 1 -0,629
Y 0,802 0,77 -0,629 1
Используя пошаговую процедуру отбора наиболее информативных объясняющих переменных, определить подходящую регрессионную модель, исключив при этом мультиколлинеарность. Оценить значимость коэффициентов регрессии полученной модели по t-критерию.
6.6. Имеются следующие данные об урожайности озимой пшеницы yi (ц\га) за 10 лет:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 16,3 20,2 17,1 7,7 15,3 16,3 19,9 14,4 18,7 20,7
Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициенты автокорреляции (для лагов τ=1,2) временного ряда.
6.9. В таблице представлены данные, отражающие динамику роста доходов на душу населения yi (ден. ед.) за восьмилетний период:
t 1 2 3 4 5 6 7 8
yi 1133 1222 1354 1389 1342 1377 1491 1684
Полагая, что тренд линейный и условия классической модели выполнены:
А) найти уравнение тренда и оценить его значимость на уровне ;
Б) дать точечный и с надежностью 0,95 интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений доходов на девятый год.
1.2. Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды 20 млн. руб. Простая ставка 15% годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.
(а S=20,921 млн. руб.; б S=20,933 млн. руб.; в S=20,913 млн. руб.)
1.6. Начальная сумма долга 200 млн. руб. В погашение долга должно быть выплачено 250 млн. руб. через 80 дней. Определить доходность данной операции для кредитора (временная база 360 дней).
(112,5%)
2.2. Сколько лет необходимо для увеличения начальной суммы в 3 раза, если применяется сложная ставка 20% годовых?
(6,036 лет).
2.5. За сколько лет первоначальная сумма увеличится в 4 раза, если в расчетах используется сложная ставка 20% годовых?
(7,72 года).
3.1. Можно ли считать равноценным два обязательства: первое уплатить 200 млн. руб. через 2 месяца, второе уплатить 400 млн. руб. через 5 месяцев. Использовать в расчетах простую ставку 15% годовых.
(Нельзя, так как ).
3.7. Объединяются три платежа 3, 5 и 10 млн. руб. со сроками уплаты через 1, 2 и три года в один платеж 16 млн. руб. В расчетах используется сложная ставка 10% годовых. Найти срок консолидированного платежа.
(1,13 года).
4.4. Найти годовую ставку простых процентов, на которую можно заменить номинальную годовую ставку 10%, если начисление по ней производится полугодиями в течение 3 лет.
(11,3%).
4.7. Для первых 3 лет ссуды применяется сложная ставка 10%, для следующих двух лет 16%. Найти среднюю ставку за весь период ссуды.
(12,4%).
5.2. Предположим, что условия задачи 5.1. изменены следующим образом: проценты начисляются ежемесячно. Каков будет фонд?
5.1. С целью финансирования некоторых предприятий в будущем создается фонд. Средства в фонд поступают в течение 6 лет в конце каждого года в размере 15 млн. руб. На указанные платежи начисляют проценты по сложной ставке 12% годовых. Определить фонд по истечении указанного периода.
(123,8 млн. руб.).
5.3. По условиям задачи 5.1. взносы в фонд производятся по полугодиям.
(125,3 млн. руб.).
1. Эконометрика. Под ред. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 344с.
2. Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс.
3. Четыркин. Финансовая математика.