Электромагнитные поля и волны

Задача № 3. В коаксиальной линии, изображенной на рис.1, возбуждено монохроматическое электромагнитное поле. Внутренний и внешний проводники линии изготовлены из материала с µr = 1 и удельной проводимостью σ = ∞. Линия заполнена однородной изотропной средой с параметрами εr, µr= 1, σ = 0. Известны либо комплексная амплитуда электрического поля волны, либо комплексная амплитуда магнитного поля волны, либо, наконец, комплексные амплитуды продольных составляющих электрического и магнитного полей: E ̇zm = 0; = 0 Требуется: 1) определить комплексные амплитуды всех остальных, не заданных в условии задачи, составляющих (проекций) векторов полей; 2) определить диапазон частот, в котором рассматриваемое поле - бегущая вдоль оси Z волна; 3) записать выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов полей; 4) построить графики зависимостей мгновенных значений составляющих полей от координаты Z для двух случаев: t = 0, r = (R_1+ R_2)/2, φ = 0 0≤Z≤2λ t = T/4, r = (R_1+ R_2)/2, φ = 0 5) проверить выполнение граничных условий для составляющих векторов полей на проводниках линии; 6) определить амплитуды токов, протекающих по проводникам линии, а также напряжения между проводниками линии; 7) определить волновое сопротивление линии; 8) определить фазовую скорость и скорость распространения энергии волны; 9) изобразить силовые линии векторов Е и Н, а также линии токов на проводниках линии. Данные для расчетов: εr = 1,45 I = 4 mA 2R1=1,2 мм 2R2= 5,4 мм f = 4 МГц   Решение Для нахождения структуры Т-волны в коаксиальном волноводе используется следующий подход: По условию E ̇zmγ_┴^2=0 и Н ̇zmγ_┴^2=0 получаем: ∇^2 Е ⃗_(┴m)=0 ∇^2 Н ⃗_(┴m)=0 Уравнения представляют собой двухмерные уравнения Лапласа. Поле удовлетворяющее уравнению Лапласа, является потенциальным. Это означает, что решение уравнения ∇^2 Е ⃗_(┴m)=0 может быть выражено через градиент скалярной функции: Е ⃗_(┴m)=-〖grad〗_┴ ψ где ∇_┴^2 ψ=0 Н ⃗_(┴m)=(ωε_а)/β [Z ⃗,E ⃗ ] В полярной системе координат уравнение ∇_┴^2 ψ=0 имеет вид: (∂^2 ψ)/(∂r^2 )+1/r ∂ψ/∂r+1/r^2 (∂^2 ψ)/(∂φ^2 )=0 При решении этого уравнения необходимо учитывать условие: E_φ (R_1,φ)=E_φ (R_2,φ)=0 Следовательно ψ ̇_m=-E_0 R_1 ln⁡(r)*e^(-iβz) Находим составляющие поля: Е ̇_rm=(I_0 Z_c)/2πr e^(-ikz) Е ̇_φm=0 Е ̇_zm=0 Перейдем в системе уравнений Максвелла к комплексным векторам и . При этом второе уравнение Максвелла примет вид . Учитывая, что , приходим к соотношению . Комплексные амплитуды составляющих вектора равны: H ̇_rm=0 H ̇_φm=I_0/2πr e^(-ikz) H ̇_zm=0 2. По условию задания γ┴ = 0, следовательно, коэффициент фазы β = k (продольное волновое число) является действительным положительным числом при любых значениях длины волны в линии. Наличие внутреннего проводника приводит к существованию Т-волны, которая является основной, поэтому λКР = ∞ и f КР = 0. Вывод: в коаксиальной пинии рассматриваемое поле - бегущая вдоль оси Z волна при 0 ≤ f КР ≤ ∞.