Несобственные интегралы. Реферат

Введение
При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:
1. пределы интегрирования и являются конечными;
2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .
В данном случае определенный интеграл называется собственным.
Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.
Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.
Если хотя бы одно из условий 1.- 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.
В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.

1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерии Коши сходимости несобственного интеграла
1.1 Несобственные интегралы первого рода
Пусть функция непрерывна при любом . Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом:
(1.1)
Предположим, что при функция (1.1) имеет конечный предел, этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается так:
(1.2)
Если предел (1.2) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрически интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева отрезком прямой , снизу осью (рис.1); в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося бесконечной.
Рис.1
Если первообразная для , то
, где .
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами
,
где любая точка из интервала .
Несобственные интегралы второго рода
Если функция неограниченна в окрестности точки отрезка и непрерывна при и , то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой
, (1.3)
где .
В случае или получаем
(1.4)
(1.5)
Несобственные интегралы (1.4) и (1.5) называются сходящимися, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла; в противном случае интегралы называются расходящимися.
Несобственный интеграл (1.3) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части.
Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при ) исчерпание площади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца к точке (см. рис.).

1.3 Критерии Коши сходимости несобственного интеграла
Для несобственного интеграла второго рода:
1). Пусть функция определена на промежутке ) , причем существует собственный интеграл , тогда:
интеграл сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие: : .
Для несобственного интеграла второго рода:
2). Пусть функция определена на полуинтервале ), причем существует собственный интеграл , тогда
интеграл сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие


2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы
Рассмотрим несобственные интегралы:
( ) (2.1)
( ) (2.2)
Если несобственный интеграл (2.1) сходится, то несобственный интеграл (2.2 )называется абсолютно сходящимся.
Если несобственнй интеграл (2.1) расходится, а несобственный интеграл (2.2) сходится, то несобственный интеграл (2.2) называется условно сходящимся.