3. Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебышёва
Пример 1.
Можно указать неотрицательную случайную величину Х и положительное число а такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.
Достаточно рассмотреть .
Тогда М(Х) = а, М(Х)/а = 1
и Р(а>a) = 1,
т.е. P(X>a) = M(X)|a = 1.
Следовательно, первое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляюего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих правых частей.
Пример 2.
Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех а?
Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число а, что первое неравенство Чебышёва является строгим.
Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0.
В первом случае возьмем положительное а, меньшее положительного числа М(Х), например, положим а = М(Х)/2. Тогда М(Х)/а больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями примера 1.
Пример 3.
Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.
Требуется оценить , где число выпадений герба, а независимые с. в., имеющие распределение Бернулли с параметром 1/2, равные «числу гербов, выпавших при i-м подбрасывании» (то есть единице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку , искомая оценка сверху выглядит так:
Иначе говоря, неравенство Чебышёва позволяет заключить, что, в среднем, не более чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.
Пример 4.
Пусть последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной С, а ковариации любых с. в. и ( ), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?
Воспользуемся неравенством (13) и свойством 12:
Но для i < j, по условию, , если . Следовательно, в сумме равны нулю все слагаемые кроме, может быть, (их ровно n -1 штука).
Оценим каждое из них, используя одно из свойств коэффициента корреляции
(по условию задачи)
при , т.е. последовательность удовлетворяет ЗБЧ.
Пример 5.
Пусть С = 1, = 0,1. При каких k правая часть неравенства (6) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?
В рассматриваемом случае правая часть неравенства (6) равно 100/ k. Она не превосходит 0,1, если k не меньше 1000, не превосходит 0,05, если k не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если k не меньше 10 000 000.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Неравенство Чебышева 4
2. Теорема Чебышева 6
3. Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебышёва 9
Заключение 12
Список используемой литературы 13
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрения ряд утверждений и теорем из большой группы так называемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Они составляют основу математической статистики. Предельные теоремы условно делятся на две группы. Первая группа теорем, называемая законом больших чисел, устанавливает устойчивость средних значений: при большом числе испытаний их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной точностью. Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой, устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.
1. Неравенство Чебышева
Пусть случайная величина имеет конечный момент второго порядка , тогда
, (1)
где - любое действительное число и . Соотношение (1) называют неравенством Чебышева.
Сначала рассмотрим доказательство неравенства, следующего из (1) при :
. (2)
Доказательство неравенства Чебышева удобнее рассматривать отдельно для непрерывной и для дискретной случайных величин. При этом доказательства являются относительно простыми, а ход доказательств вполне очевиден. В то время как универсальное доказательство, справедливое и для непрерывной и для дискретной случайных величин оказывается значительно более сложным. Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью вероятности . Тогда в соотношении первое слагаемое можно представить в виде
,
поэтому
.
Здесь использовано неравенство - справедливое на области интегрирования. Полученное выражение совпадает с неравенством (2). Аналогично выполняется доказательство для дискретной случайной величины.
Теперь случайную величину (2) можно заменить на случайную величину , где - любое действительное число, тогда из (2) следует неравенство Чебышева (1). Это неравенство определяет границу сверху для вероятности или, как говорят, больших уклонений случайной величины от числа . Большие уклонения понимаются в смысле их превышения над заданным числом .
Пусть , тогда неравенство Чебышева (1) имеет вид
. (3)
Теперь минимальное уклонение можно измерять в единицах среднеквадратического уклонения случайной величины , т.е. положить
, (4)
где - коэффициент пропорциональности. Подставим (4) в (3), тогда
. (5)
Если правая часть , то (5) не представляет какого-либо ограничения на случайную величину, поскольку вероятность не может выходить за пределы интервала . Поэтому коэффициент в (5) имеет смысл рассматривать только большим: . Отсюда очевидна интерпретация неравенства Чебышева как неравенства, определяющего границу сверху вероятности больших уклонений.
Пусть - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности , тогда неравенству Чебышева (1) можно дать простую геометрическую интерпретацию, представленную на рис.1.
1. Письменный Д.Т., Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам М.: Айрис-пресс, 2006.-288 с.
2. Боровков Александр Алексеевич. Теория вероятностей. 4.изд. М. : Едиториал УРСС, 2003. 470с. Библиогр.: с. 464-466.
3. Бочаров Павел Петрович, Печенкин Александр Владимирович. Теория вероятностей. Математическая статистика: Учеб. пособие. М. : Гардарика, 1998. 327с. (Univers).
4. Вентцель Елена Сергеевна. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов. 7.изд., стер. М. : Высшая школа, 2001. 575с. : рис., табл.
5. Гмурман Владимир Ефимович. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студ. вузов. 9.изд., стер. М. : Высшая школа, 2003. 479с. : рис.