19. Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
, , , .
Решение:
векторы образуют базис в 3-хмерном векторном пространстве если они линейно-независимые, т.е. тогда и только тогда, если . Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:
которая имеет единственное решение - нулевое, тогда и только тогда если ее определитель отличен от нуля:
, следовательно, и векторы образуют базис.
Найдем теперь координаты вектора в базисе , т.е. , следовательно, имеем систему для нахождения искомых координат:
решение которой получено в задаче 9: , т.е. .
29. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: а) угол между ребрами и ; б) площадь грани ; в) уравнение плоскости ; г) уравнение высоты, проходящей через ; д) объем пирамиды.
.
Решение:
а) угол между ребрами и как угол между векторами и :
, , тогда
, следовательно, искомый угол:
;
б) площадь грани найдем как площадь треугольника образованного векторами и :
,
, тогда
;
в) запишем уравнение плоскости как плоскости проходящей через три точки :
,
,
- искомое уравнение;
г) уравнение высоты, проходящей через найдем, как уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно плоскости :
;
д) объем пирамиды найдем с помощью смешанного произведения векторов:
,
, тогда
.
39. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности - координаты центра и радиус. Сделать чертеж.
.
Решение:
- эллипс, координаты вершин которого (-5,0), (5,0), (0,-4), (0,4), а координаты фокусов и , т.к. .
Сделаем чертеж:
9. Решить систему уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.
х1+х2-2х3=1
5х1+3х2+х3=1
-х1-2х2+х3=-3
19. Даны векторы a,b,c и d. Показать, что векторы a,b,c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
a=(1,5,-1),b=(1,3,-2)?c=(-2,1,1),d=(1,1,-3)
29. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: а) угол между ребрами A1A2 и A1A3; б) площадь грани A1A2A3; в) уравнение плоскости A1A2A3; г) уравнение высоты, проходящей через A4; д) объем пирамиды.
A1(1,-1,1), A2(2,4,0),A3(2,2,-1),A4(-1,0,2)
39. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности - координаты центра и радиус. Сделать чертеж.
(4x+5y)^2=40(10+xy)
49.Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) б) в) г)
59. Найти точку разрыва данной функции. Сделать чертеж.
-x-1,x
нет