Методика введения показательной функции в школьном курсе математики.

Введение
В настоящее время в учебных планах, регламентирующих процесс обучения в общеобразовательных учреждениях, наметилась тенденция к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла. Одновременно происходит возрастание требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков. В связи с этим, в теории и методике обучения математике обострились многие методические проблемы, в том числе, проблема изучения школьниками функций.
Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IVV классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования. В данной курсовой работе будет рассмотрено введение показательной функции и методика преподавания данной темы в школьном курсе алгебры и начала анализа.
Основная часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения в VII-VIII классах школьного курса математики функций, образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа задания функций, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое внимание уделено методике изучения показательной функции.
Проблема исследования выявление условий и методов, способствующих понимающему усвоению учащимися основных понятий темы "Логарифмическая и показательная функции" в личностно ориентированной модели обучения.
Объект исследования процесс формирования математических понятий у старшеклассников.
Предмет исследования методические условия, обеспечивающие становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников на материале темы "Логарифмическая и показательная функции".
Цель исследования выявить, теоретически обосновать и экспериментально проверить методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников, способствующие понимающему усвоению материала темы "Введение показательной функции".
Гипотеза исследования заключается в том, что понимающее усвоение материала темы "Логарифмическая и показательная функции" будет обеспечено, если обучение будет направлено на становление различных аспектов смысла математических понятий, включение их в личностный опыт и целостное восприятие материала за счет выполнения следующих методических условий: генетического структурирования учебного материала темы; использования информационно-коммуникационных технологий для постижения структурно-предметного аспекта смысла понятия "натуральная логарифмическая Функция"; интеграции различных форм представления содержания математических понятий; применения специальным образом организованного диалога как инструмента понимающего усвоения.
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1. Выявить сущность смысла и значения как компонентов математического знания; раскрыть теоретическую основу изучения функций в школьном курсе математики.
2. Выяснить, как становление различных аспектов смысла математических понятий влияет на развитие теоретического мышления старшеклассников.
3. Выявить и теоретически обосновать методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников.
4. Разработать методику изучения темы "Логарифмическая и показательная функции", ориентированную на понимающее усвоение старшеклассниками учебного материала с учетом выявленных методических условий.
Для решения поставленных задач использовались методы исследования:
теоретические: анализ и обобщение философской, психолого-педагогической, математической, научно-методической литературы по проблеме исследования; изучение и обобщение педагогического опыта по проблеме организации учебного процесса в старших классах общеобразовательной школы;
эмпирические: наблюдение за ходом учебного процесса в старших классах общеобразовательной школы; анкетирование, тестирование, опросы, беседы с учителями и учащимися; организация и проведение педагогического эксперимента; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна работы состоит в том, то впервые:
выявлены методические условия, обеспечивающие становление различных аспектов смысла математических понятий у учащихся;
раскрыто содержание структурно-предметного аспекта смысла понятий "логарифмическая Функция" и "показательная Функция". Показано, что важнейшей составляющей данного аспекта смысла является операционный (арифметический) смысл. Установлено влияние выявления различных аспектов смысла математических понятий учащимися на качество усвоения данных понятий;
установлены взаимосвязи между различными аспектами смысла этих понятий и их влияние на развитие понятийного мышления учащихся.
Теоретическая значимость работы:
выделены качества знаний, способствующие постижению различных аспектов смысла математического понятия, факта, явления;
установлены дидактические особенности диалога, направленного на понимающее усвоение учащимися учебного материала;
выявлены, теоретически обоснованы и конкретизированы методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников на материале темы "Логарифмическая и показательная функции": структурирование учебного материала темы на основе выбора в качестве образовательного объекта понятия "натуральная логарифмическая Функция"; использование информационно-коммуникационных технологий для представления и осознания нового вида соответствия между числовыми множествами, описываемого с помощью натуральной логарифмической функции; сочетание различных форм представления содержания математических понятий для постижения различных аспектов смысла основных понятий темы с их последующей интеграцией, приводящей к целостному восприятию учебного материала; применение специальным образом организованного диалога как инструмента понимающего усвоения.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны учебные материалы (использование компьютерных технологий, задачи и задания к ним, лабораторная работа по выявлению учащимися структурно-предметного аспекта смысла понятия "натуральная логарифмическая Функция", самостоятельные и контрольные работы); примеры диалогового построения обучения, направленного на становление различных аспектов смысла математических понятий и включение их в личностный опыт учащихся при изучении темы "Логарифмическая и показательная функции". Эти материалы могут быть использованы при составлении учебных и методических пособий по математике как для классов с углубленным изучением математики, так и для общеобразовательных классов.
Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
1.1. История возникновения и развития. Представление о показательной функции
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 45 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В "Геометрии" Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых  функции от абсцисс (х); путь и скорость  функции от времени (t) и тому подобное.
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей "Геометрии" лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения  формулы.
Слово "Функция" (от латинского functio  совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение "Функция от х" стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа" (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак  х, называя  характеристикой функции, а также буквы х или ; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с  Эйлер предлагает пользоваться и буквами ,  и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например,  t,  (t + s).
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".